Nachfolgend praktische Betrachtungen, die in Lehrbuchtexten ggf. fehlen oder untergehen.
Bei ungenauer Betrachtung des Nyquist–Shannon-Abtasttheorems kann man zu dem Irrglauben kommen, ein hinreichend bandbegrenztes Signal kann stets perfekt rekonstruiert werden. Das ist bei einem begrenzten Abtastzeitraum absolut nicht der Fall.
Das Nyquist–Shannon-Abtasttheorem sagt: Wenn eine Funktion keine Frequenzen enthält, die größer oder gleich f Herz sind, dann ist sie vollständig durch die Funktionswerte an den Stellen mit x = n * ( 1 / 2f ), mit n = 0...unendlich bestimmt.
Das Theorem bezieht sich jedoch auf alle und damit unendlich viele Funktionswerte. In der Praxis arbeitet man jedoch stets mit endlichen Abschnitten einer Funktion und damit mit endlich vielen (Stütz-)Stellen. Das Theorem ist dann jedoch nicht mehr anwendbar.
So kann bereits eine einzelne konstante Sinusschwingung mit 100,5 Hz bei einem Abtastzeitraum von einer Sekunde nicht fehlerfrei rekonstruiert werden. Das ist unabhängig von der Abtastrate.
Das Signal eines begrenzten Abtastzeitraums kann unter der Annahme perfekt rekonstruiert werden, dass sämtliche enthaltene Frequenzen ein ganzzahliges Vielfaches (einschließlih 0) von 1/t sind. Wobei t die Abtastdauer in Sekunden ist. Diese Annahme wird in der Praxis in der Regel auch nicht erfüllt.
Enthält ein Ausgangssignal Sinusanteile anderer Frequenzen, so enthält das aus den Abtastwerten wiederhergestellte Signal zusätzliche Sinusanteile (sog. Artefakte). Eine korrekte Wiederherstellung ist grundsätzlich nicht möglich, da durch die Abtastung die nötigen Informationen verloren gehen.
Die DFT bestimmt für eine Folge von n Abtastwerten die Amplitude und Phase von n/2 Sinusschwingungen und eine Konstante. Die Sinusschwingungen haben dabei die Frequenzen 1/t, 2/t bis n/2/t Hz, wenn t die Abtastdauer in Sekunden ist. Die Addition der Sinusschwingungen und der Konstante ergibt an den Abtaststellen die Abtastwerte. Außerhalb der Abtaststellen ergibt die Addition jedoch Werte, die in der Regel vom Ausgangssignal abweichen.
Es gilt jedoch: Enthält das Signal ausschließlich Frequenzen mit f = x / 2 / t für x = 0...n-1, so werden diese von der DFT richtig erkannt. Für alle anderen Frequenzen gilt das nicht. Die Frequenz n / 2 / t bildet eine Ausnahme. Sie wird für Rekonstruktion der Abtastwerte benötigt, ihre Amplitude ist jedoch ansonsten unbrauchbar. Sie entspricht in der Regel nicht der der gleichen Frequenz des Ausgangssignals.
Die diskrete Fouriertransformation kann dennoch für die Frequenzanalyse bandbegrenzter Signale eingesetzt werden. Sie ermittelt alle Frequenzen, die ein ganzzahliges Vielfaches von 1/t und kleiner als n/2/t sind. Enthält das abgetastete Signal andere Frequenzen (im Bereich der Bandbegrenzung), so ergibt die DFT nicht die ursprünglich im Signal enthaltenen Frequenzen. Sie verteilt eine Frequenz, die nicht ganzzahliges vielfaches von 1/t ist auf die nächstliegenden von der DFT berücksichtigten Frequenzen.
Frequenzverläufe werden durch die DFT, wie durch die Fouriertransformation allgemein, nicht abgebildet. Die DFT ermittelt immer nur Frequenzen, die die Abtastwerte erzeugen. So wird ein von 10 auf 20 Hz linear ansteigender Sinuston durch die DFT bei einer Abtastdauer von z.B. einer Sekunde auf eine Vielzahl von Frequenzen abgebildet.
Zum Experimentieren und Veranschaulichen der DFT existiert Software. Diese ist öffentlich derzeit nicht zugänglich.
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